Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2{e^x}}}{x}$
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線方程為ax-y=0，求x₀的值；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=$\frac{1}{2}$f（x）-bx，其中b為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程過（0，0），求出x₀的值即可；
（2）問題等價于$\frac{e^x}{x^2}-b=0$，令$H（x）=\frac{e^x}{x^2}-b$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論b的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出零點(diǎn)根式即可．

解答 解：（1）${f^，}（x）=2×\frac{{{e^x}x-{e^x}}}{x^2}$，因?yàn)榍芯�ax-y=0過原點(diǎn)，
所以$\frac{{{e^{x_0}}{x_0}-{e^{x_0}}}}{{{x_0}^2}}=\frac{{\frac{{{e^{x_0}}}}{x_0}}}{x_0}$，解得：x₀=2；
（2）F（0）=0等價于f（x）-bx=0，等價于$\frac{e^x}{x^2}-b=0$，注意x≠0，
令$H（x）=\frac{e^x}{x^2}-b$，所以${H^，}（x）=\frac{{{e^x}（{x-2}）}}{x^3}（{x≠0}）$，
（i）當(dāng)b≤0，H（x）＞0，所以H（x）無零點(diǎn)，即F（x）定義域內(nèi)無零點(diǎn)，
（ii）當(dāng)b＞0，當(dāng)x＜0時，H，（x）＞0，H（x）單調(diào)遞增；
因?yàn)镠（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，而$H（{-\frac{1}{{\sqrt}}}）=b{e^{-\frac{1}{{\sqrt}}}}-b$，
又${e^{\frac{1}{{\sqrt}}}}＞1，所以H（{-\frac{1}{{\sqrt}}}）＜0$，
又因?yàn)?H（{-\frac{1}{{\sqrt{nb}}}}）=b•\frac{{n-{e^{\frac{1}{{\sqrt{nb}}}}}}}{{{e^{\frac{1}{{\sqrt{nb}}}}}}}$，其中n∈N^*，取$n=[{\frac{1}}]+3$，
所以$1＜{e^{\frac{1}{{\sqrt{nb}}}}}＜e，n＞3$，由此$H（{-\frac{1}{{\sqrt{nb}}}}）＞0$，
由零點(diǎn)存在定理知，H（x）在（-∞，0）上存在唯一零點(diǎn)
當(dāng)0＜x＜2時，H，（x）＜0，H（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時，H，（x）＞0，H（x）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x=2時，H（x）有極小值也是最小值，$H（2）=\frac{e^2}{4}-b$．
①當(dāng)$H（2）=\frac{e^2}{4}-b＞0，即0＜b＜\frac{e^2}{4}時，H（x）在（{0，+∞}）上不存在零點(diǎn)$；
②當(dāng)$H（2）=\frac{e^2}{4}-b=0，即b=\frac{e^2}{4}時，H（x）在（{0，+∞}）上存在唯一零點(diǎn)2$；
③當(dāng)$H（2）=\frac{e^2}{4}-b＜0，即b＞\frac{e^2}{4}時，由{e^{\frac{1}{{\sqrt}}}}＞1有H（\frac{1}{{\sqrt}}）=b{e^{\frac{1}{{\sqrt}}}}-b＞0$，
而H（2）＜0，所以H（x）在（0，2）上存在唯一零點(diǎn)；
又因?yàn)?2b＞3，H（{2b}）=\frac{{{e^{2b}}}}{{4{b^2}}}-b=\frac{{{e^{2b}}-4{b^3}}}{{4{b^2}}}$
令$h（t）={e^t}-\frac{1}{2}{t^3}$，其中$t=2b＞2，{h^，}（t）={e^t}-\frac{3}{2}{t^2}，{h^{，}}（t）={e^t}-3t，{h^{，}}（t）={e^t}-3$
所以h，（t）＞e²-3＞0，因此h，（t）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
從而h，（t）＞h（2）=e²-6＞0，所以h，（t）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，因此h，（t）＞h，（2）=e²-6＞0，
故h（t）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（t）＞h（2）=e²-4＞0，
$\begin{array}{l}由上得H（{2b}）＞0，由零點(diǎn)存在定理知，H（x）在（2，2b）上存在唯一零點(diǎn)，\\ 即在（{2，+∞}）上存在唯一零點(diǎn)\end{array}$
綜上所述：
$\begin{array}{l}當(dāng)b≤0，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為0；\\ 當(dāng)0＜b＜\frac{e^2}{4}時，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為1；\\ 當(dāng)b=\frac{e^2}{4}時，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為2；\\ 當(dāng)b＞\frac{e^2}{4}時，函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個數(shù)為3；\end{array}$

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．