Question

【題目】設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，0≤f（x）≤1；當(dāng)x∈（0，2）且x≠1時，x（x﹣1）f′（x）＜0．則方程f（x）=lg|x|根的個數(shù)為（ ）
A.12
B.1 6
C.18
D.20

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x+2）=f（x），∴函數(shù)y=f（x）的周期是2， 又∵當(dāng)x∈（0，2）且x≠1時，x（x﹣1）f′（x）＜0，
∴當(dāng)0＜x＜1時，x（x﹣1）＜0，則f′（x）＞0，函數(shù)在[0，1]上是增函數(shù)
又由當(dāng)x∈[0，1]時，0≤f（x）≤1，
則f（0）=0，f（1）=1．
而y=lg|x|是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，其圖象為y=lgx的圖象，即函數(shù)為增函數(shù)，
由于x=10時，y=lg10=1，
∴其圖象與f（x）的圖象在[0，2]上有一個交點(diǎn)，在每個周期上各有兩個交點(diǎn)，
∴在y軸右側(cè)共有9個交點(diǎn)．
∵y=lg|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，
∴在y軸左側(cè)也有9個交點(diǎn)
∴兩函數(shù)圖象共有18個交點(diǎn)．
故選：C．

【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解基本求導(dǎo)法則(若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo))．