Question

17．如圖，圖形ABCST中AB=BC=100，AB垂直于BC，O為AC的中點(diǎn)，AT=SC=50，弧$\widehat{TS}$以O(shè)為圓心，OT為半徑，P為弧$\widehat{TS}$上任一點(diǎn)，過P作矩形PHBQ，求矩形PHBQ的最大面積．

Answer 1

分析 如圖所示建立直角坐標(biāo)系．設(shè)P（50cosθ，50sinθ）（θ∈$[0，\frac{π}{2}]$）．可得矩形PHBQ的面積S=PH•PQ=2500（sinθcosθ+sinθ+cosθ+1）．設(shè)t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[1，$\sqrt{2}$]，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，通過換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)P（50cosθ，50sinθ）（θ∈$[0，\frac{π}{2}]$）．
則PH=50+50cosθ，PQ=50+50sinθ．
∴矩形PHBQ的面積S=（50+50cosθ）（50+50sinθ）
=2500（sinθcosθ+sinθ+cosθ+1），
設(shè)t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈[1，$\sqrt{2}$]，
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
則S=2500$（\frac{{t}^{2}-1}{2}+t+1）$
=1250（t+1）²，
∵S在t∈[1，$\sqrt{2}$]，上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=$\sqrt{2}$時(shí)，S取得最大值=1250（3+2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)基本關(guān)系式和差公式與倍角公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．