Question

8．已知三棱錐S-ABC的四個頂點(diǎn)均落在球O的表面上，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，$SA=BC=\frac{1}{2}AB=1$，則球O的體積與表面積的比值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，三棱錐S-ABC擴(kuò)展為正方體，正方體的外接球的球心就是正方體體對角線的中點(diǎn)，求出正方體的對角線的長度，即可求解球的半徑，從而可求三棱錐S-ABC的外接球的表面積、體積，即可得出結(jié)論．

解答 解：三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又$SA=BC=\frac{1}{2}AB=1$，三棱錐擴(kuò)展為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的對角線的長度，
∴球的半徑R=$\frac{1}{2}\sqrt{4+1+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
球O的體積$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π，
球的表面積為：4πR²=4π•（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π，
∴球O的體積與表面積的比值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故選：A．．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐S-ABC的外接球的表面積、體積，解題的關(guān)鍵是確定三棱錐S-ABC的外接球的球心與半徑．