Question

【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線(xiàn)EF上；

（2）求角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接，．證明在的垂直平分線(xiàn)上，則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線(xiàn)上，

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，過(guò)點(diǎn)作平行于的向量為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD.

因?yàn)椤?/span>ACD為等邊三角形，所以AC=AD，所以點(diǎn)G在CD的垂直平分線(xiàn)上.

又因?yàn)?/span>EF是CD的垂直平線(xiàn)，所以點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線(xiàn)EF上.

另證：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥EF，再證AG⊥CD，從而證得AG⊥平面BCDE，

即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線(xiàn)EF上

（2）解：以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GA所在直線(xiàn)為z軸，GF所在直線(xiàn)為y軸，過(guò)點(diǎn)G作平行于DC的直線(xiàn)為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，連接AF，

則 ，，

所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

令，得，又平面的一個(gè)法向量

所以，

.