Question

9．PA垂直于⊙O所在平面，B在⊙O上，AC是直徑，AE⊥BP于E點(diǎn)
（1）求證：AE⊥面PBC；
（2）若PA=AB=BC=6，求點(diǎn)B到平面AEO的距離．

Answer 1

分析 （1）PA垂直于⊙O所在平面，可得PA⊥BC．進(jìn)而定點(diǎn)BC⊥平面PAB，BC⊥AE，即可證明：AE⊥面PBC．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面AEO的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，可得點(diǎn)B到平面AEO的距離=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 （1）證明：∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
又AE⊥BP，BP∩BC=B，∴AE⊥面PBC．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵PA=AB=BC=6，∴A（0，0，0），O（0，3$\sqrt{2}$，0），B（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$，0），
P（0，0，6），E$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，3）$，
∴$\overrightarrow{AO}$=（0，3$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，3）$，$\overrightarrow{AB}$=（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$，0）．
設(shè)平面AEO的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{2}y=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y+3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{2}，0，-1）$．
∴點(diǎn)B到平面AEO的距離=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系與空間距離、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．