Question

17．已知A、B分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右頂點，離心率e=$\frac{1}{2}$，右焦點與拋物線y²=4x的焦點F重合．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P是橢圓C上異于A、B的動點，直線l過點A且垂直于x軸，若過F作直線FQ垂直于AP，并交直線l于點Q，證明：Q、P、B三點共線．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y²=4x，求得焦點F（1，0），即c=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a，由b²=a²-c²，即可求得橢圓C的方程；
（2）由題意設(shè)AP的方程為y=k（x+2）（k≠0），代入橢圓方程，由韋達定理求得P點坐標，QF⊥AP，QF斜率，與AP聯(lián)立，求得Q點坐標，即可求得k_BQ=k_PQ，即可證明Q、P、B三點共線．

解答 解：（1）拋物線的焦點F（1，0），即c=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）由（1）知直線l的方程為x=-2，
∵點P異于A，B，
∴直線AP的斜率存在且不為0，
設(shè)AP的方程為y=k（x+2）（k≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴${x_P}+{x_A}=\frac{{-16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${x_P}=\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_P}=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$．
又∵QF⊥AP，k_QF=-$\frac{1}{k}$，
∴直線QF的方程為$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\end{array}\right.$，解得交點$Q（-2，\frac{3}{k}）$，${k_{PQ}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}-\frac{3}{k}}}{{\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+2}}=-\frac{3}{4k}$，${k_{BQ}}=\frac{{\frac{3}{k}-0}}{-2-2}=-\frac{3}{4k}$，
即k_BQ=k_PQ，有公共點Q，所以Q，P，B三點共線…（12分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三點共線與斜率的關(guān)系，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．