Question

正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，F(xiàn)A=FE，∠AEF=45°
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）設(shè)線段CD的中點為P，在直線AE上是否存在一點M，使得PM∥平面BCE？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明BC⊥平面ABEF，從而可證BC⊥EF．再證明EF⊥BE，即可證明EF⊥平面BCE．
（Ⅱ）存在點M，當(dāng)M為線段AE的中點時，PM∥平面BCE，取BE的中點N，連接AN，MN，則MN∥=

1

2

AB∥=PC，可證PM∥CN，從而可得PM∥平面BCE．

解答： 證明：（Ⅰ）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF，
所以BC⊥EF．
因為△ABE等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因為∠AEF=45°，
所以∠FEB=45°+45°=90°，
即EF⊥BE=B，
所以 EF⊥平面BCE．     …4分
 （Ⅱ）存在點M，當(dāng)M 為線段AE的中點時，PM∥平面BCE，
取BE的中點N，連接AN，MN，則MN∥=

1

2

AB∥=PC，
所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN，
因為CN在平面BCE內(nèi)，PM不在平面BCE內(nèi)，
所以PM∥平面BCE．

點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，屬于基本知識的考查．