Question

如圖，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)
（1）求證：平面CEM⊥平面ABDE；
（2）求直線DE與平面CEM所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得CM⊥AB，CM⊥EM，從而CM⊥平面ABDE，由此能證明平面CEM⊥平面ABDE．
（Ⅱ）連結(jié)MD，設(shè)AE=a，則BD=BC=AC=2a，從而DE=3a，EM=

3

a，MD=

6

a，進(jìn)而CM⊥平面EMD，∠DEM是直線DE和平面EMC所成的角，由此能求出直線DE與平面CEM所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)锳C=BC，M是AB的中點(diǎn)，
所以CM⊥AB，
又因?yàn)镋A⊥平面ABC，
所以CM⊥EM，
又AB∩EM=M，所以CM⊥平面ABDE，
又CM?平面CEM，
所以平面CEM⊥平面ABDE．
（Ⅱ）解：連結(jié)MD，設(shè)AE=a，
則BD=BC=AC=2a，
在直角梯形ABDE中，
AB=2

2

a，M是AB的中點(diǎn)，
所以DE=3a，EM=

3

a，MD=

6

a，
因此DM⊥EM，
因?yàn)镃M⊥平面EMD，
所以CM⊥DM，
因此DM⊥平面EMC，
故∠DEM是直線DE和平面EMC所成的角，
在Rt△EMD中，MD=

6

a，EM=

3

a，
tan∠DEM=

MD

EM

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．