Question

19．己知雙曲線$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{m-1}$=1，焦點(diǎn)在x軸上．
（1）求m的范圍；
（2）已知雙曲線離心率是$\sqrt{2}$，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，作傾角是45°的直線L與該雙曲線交于A點(diǎn)，求原點(diǎn)O到A點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{m-1}$=1，焦點(diǎn)在x軸上，可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，即可求m的范圍；
（2）求出傾角是45°的直線L的方程為y=x-1，代入雙曲線方程，求出A的坐標(biāo)，即可求原點(diǎn)O到A點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{m-1}$=1，焦點(diǎn)在x軸上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{m-1＜0}\end{array}\right.$，∴0＜m＜1；
（2）∵雙曲線離心率是$\sqrt{2}$，∴m=1-m，∴m=$\frac{1}{2}$．
∴c=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$=1，
∴傾角是45°的直線L的方程為y=x-1，
代入雙曲線方程，可得x=$\frac{3}{2}$，∴A（$\frac{3}{2}$，±$\frac{\sqrt{7}}{2}$），
∴原點(diǎn)O到A點(diǎn)的距離是$\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{7}{4}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．