Question

4．如圖，A，B，C，H四個小朋友在草坪上游戲，根據(jù)游戲規(guī)則，A，B，C三人圍成一個三角形，B，H，C三人共線，H在B，C兩人之間．B，C兩人相距10m，A，H兩人相距hm，AH與BC垂直．
（1）當h=5m時，求A看B，C兩人視角的最大值；
（2）當B看A，C視角是C看A，B視角的2倍，求h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設CH=x，由BC-CH表示出BH，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠CAH，分兩種情況考慮：
1°、當1-$\frac{10-x}{5}•\frac{x}{5}$=0，即x=5時，此時∠BAH=∠CAH=45°，∠BAC=90°；
2°、當1-$\frac{10-x}{5}•\frac{x}{5}$≠0，即x≠5時，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，將各自的值代入得到其值大于0，由∠BAC為三角形內角，得到∠BAC小于90度，綜上，得到A看B，C兩人視角的最大值；
（2）利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ABH與tan∠ACH，得到∠ABH=2∠ACH，利用二倍角的正切函數(shù)公式列出關系式，整理后表示出h²，根據(jù)x的范圍求出h²的范圍，即可求出h的范圍．

解答 解：（1）設CH=x，∴BH=10-x，x∈（0，10），tan∠CAH=$\frac{x}{5}$，
1°、當1-$\frac{10-x}{5}•\frac{x}{5}$=0，即x=5時，此時∠BAH=∠CAH=45°，
∴∠BAC=90°；
2°、當1-$\frac{10-x}{5}•\frac{x}{5}$≠0，即x≠5時，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH）=$\frac{50}{（x-5）^{2}}$＞0，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC＜90°，
綜上：AH=BH=5時，最大視角是90°；
（2）∵tan∠ABH=$\frac{h}{10-x}$，tan∠ACH=$\frac{h}{x}$，
∴tan∠ABH=tan2∠ACH，
∴$\frac{h}{10-x}=\frac{2•\frac{h}{x}}{1-（\frac{h}{x}）^{2}}$，
整理得：h²=3x²-20x=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{10}{3}$）²-$\frac{100}{3}$，
∵x∈（0，10）時，h²∈（0，100），
∴h∈（0，10）．

點評 此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正切函數(shù)公式，銳角三角函數(shù)定義，利用了分類討論的思想，熟練掌握公式是解本題的關鍵．