Question

17．函數(shù)f（x）=ax³-x+1在x∈（-∞，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，則（　�。�

• A． a≥0
• B． a≤0
• C． a＜0
• D． a≤-1

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3ax²-1．由題意f'（x）≤0在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立，即不等式3ax²≤1在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立，因此對a的正負加以討論，即可得到滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3ax²-1，
∵f（x）=ax³-x+1在（-∞，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，
∴f'（x）≤0在-∞，+∞）內(nèi)恒成立，
即3ax²-1≤0在（-∞，+∞）內(nèi)恒成立，變形得3ax²≤1，
當(dāng)a＞0時，3ax²沒有最大值，3ax²≤1不能恒成立，
當(dāng)a≤0時，3ax²≤0，可得3ax²≤1恒成立，
因此實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]，
故選：B．

點評 本題給出三次多項式函數(shù)在R上為減函數(shù)，求參數(shù)a的范圍．著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立的討論等知識，屬于基礎(chǔ)題．