Question

2．在討論函數(shù)局部性質(zhì)時，可以使用簡單的一次函數(shù)來替代復雜的原函數(shù)，進而推導出正確的結(jié)論．在某值附近，用簡單的一次函數(shù)，可以近似替代復雜的函數(shù)，距離某值越近，近似的效果越好．比如，當|x|很小時，可以用y=x+1近似替代y=e^x．
（1）求證：x＜0時，用x+1替代e^x的誤差小于$\frac{1}{2}$x²，即：x＜0時，|e^x-x-1|＜$\frac{1}{2}$x²；
（2）若x＞0時，用x替代sinx的誤差小于ax³，求正數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到e^x-x-1＞0，設h（x）=e^x-x-1-$\frac{1}{2}$x²，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出結(jié)論即可；
（2）設φ（x）=x-sinx，求出函數(shù)的導數(shù)，問題只需x-sinx-ax³＜0恒成立，設g（x）=x-sinx-ax³，通過討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）設f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）遞減，
∴x＜0時，f（x）＞f（0）=0，
即e^x-x-1＞0，
設h（x）=e^x-x-1-$\frac{1}{2}$x²，
x≤0時，h′（x）=e^x-1-x≥0，
∴h（x）在（-∞，0]遞增，
∴x＜0時，h（x）＜h（0）=0，
即e^x-x-1-$\frac{1}{2}$x²＜0，
∴x＜0時，|e^x-x-1|＜$\frac{1}{2}$x²；
（2）即求使x＞0時，|x-sinx|＜ax³恒成立的最小正數(shù)a，
設φ（x）=x-sinx，φ′（x）=1-cosx≥0，∴φ（x）在[0，+∞）遞增，
∴x＞0時，φ（x）＞φ（　�。�）=0，∴x-sinx＞0，
∴只需x-sinx-ax³＜0恒成立，
設g（x）=x-sinx-ax³，
當a≥$\frac{1}{6}$時，g′（x）=1-cosx-3ax²，g″（x）=sinx-6ax，
x≥0時，sinx≤x，∴g″（x）≤x-6ax≤0，
∴g′（x）在[0，+∞）遞減，
∴x≥0時，g′（x）≤g′（0）=0，
∴g（x）在[0，+∞）遞減，
∴x＞0時，g（x）＜g（0）=0，即x-sinx＜ax³，
∴a≥$\frac{1}{6}$時，|x-sinx|＜ax³恒成立，
當0＜a＜$\frac{1}{6}$時，g′″（x）=cosx-6a，
?x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx₀-6a=0，
且x∈[0，x₀]時，g′″（x）≥0，∴g″（x）在[0，x₀]上單增，
∴x∈[0，x₀]時，g″（x）≥g″（0）=0，∴g′（x）在[0，x₀]上單增，
∴x∈[0，x₀]時，g′（x）≥g′（0）=0，∴g（x）在[0，x₀]上單增，
∴x∈（0，x₀]時，g（x）＞g（0）=0，
即x-sinx-ax³＞0，這與題意不符，
綜上，所求正數(shù)a的最小值為$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．