Question

20．給出下面四個(gè)命題：
①已知函數(shù)f（x）=2sinx，在區(qū)間[0，π]上任取一點(diǎn)x₀，則使得f（x₀）＜1的概率為$\frac{1}{3}$；
②函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
③命題“?x∈R，x²-x+1＞0”的否定是“?x∈R，x²-x+1＜0”
④若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+1）+f（2-x）=0，則f（2016）=0．
其中所有正確命題的序號(hào)是①②④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算．
②根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系進(jìn)行判斷．
③根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷．
④根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 ①已知函數(shù)f（x）=2sinx，
由f（x₀）＜1得sinx₀＜$\frac{1}{2}$，
∵x₀∈[0，π]，
∴0≤x₀＜$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$＜x≤π，
則f（x₀）＜1的概率P=$\frac{π-\frac{5π}{6}+\frac{π}{6}}{π}$=$\frac{1}{3}$；故①正確，
②函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=cos（$\frac{π}{2}$-2x-$\frac{2π}{3}$）=cos（-2x-$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；故②正確，
③命題“?x∈R，x²-x+1＞0”的否定是“?x∈R，x²-x+1≤0”故③錯(cuò)誤，
④若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，由f（x+1）+f（2-x）=0，得f（x+1）=-f（2-x）=f（x-2），
即f（x+3）=f（x），則函數(shù)的周期是3，
則f（2016）=f（672×3）=f（0）=0．故④正確，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，一般難度不大．