Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-cx（c∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）有極值，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）若c=$\frac{10}{3}$，討論方程f（x）=m的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)級別不等式的性質(zhì)求出c的范圍即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出其極大值和極小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x+e^-x-c，
若函數(shù)f（x）有極值，
則f（x）=0有解，
只需c≥e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}{•e}^{-x}}$=2，
故c的范圍是[2，+∞）；
（2）若c=$\frac{10}{3}$，則f（x）=e^x-e^-x-$\frac{10}{3}$x，
f′（x）=e^x+e^-x-$\frac{10}{3}$，
令f′（x）＞0解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）_極小值=f（1）=e-$\frac{1}{e}$-$\frac{10}{3}$＜0，
f（x）_極大值=f（-1）=$\frac{1}{e}$-e+$\frac{10}{3}$＞0，
m＞f（-1）時(shí)，方程有1個(gè)根，
m=f（-1）時(shí)，方程有2個(gè)根，
f（1）＜m＜f（-1）時(shí)，方程有4個(gè)根，
m=f（1）時(shí)，方程有2個(gè)根，
m＜f（1）時(shí)，方程有1個(gè)根．

點(diǎn)評 本題考查了級別不等式的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．