Question

13．已知復(fù)數(shù)z=（$\frac{1+i}{1-i}$）²⁰¹⁶+（1-i）²（其中i為虛數(shù)單位）．若復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為$\overline{z}$，且$\overline{z}$•z₁=4+3i．
（1）求復(fù)數(shù)z₁及z₁在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若z₁是關(guān)于x的方程x²-px+q=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值，并求出方程x²-px+q=0的另一個(gè)復(fù)數(shù)根．

Answer 1

分析 （1）先求出z=1-2i，從而$\overline{z}$=1+2i，由此能求出復(fù)數(shù)z₁及z₁在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由題意知（2-i）²-p（2-i）+q=0，從而得p=4，q=5．從而能求出另一個(gè)復(fù)數(shù)根．

解答 解：（1）∵z=（$\frac{1+i}{1-i}$）²⁰¹⁶+（1-i）²（其中i為虛數(shù)單位）
=i²⁰¹⁶-2i
=1-2i，
∴復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為$\overline{z}$=1+2i，
∵$\overline{z}$•z₁=4+3i，
∴z₁=$\frac{4+3i}{1+2i}$=$\frac{（4+3i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}$=$\frac{-5i+10}{5}$=2-i，
∴z₁=2-i，z₁在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1）．
（2）由題意知（2-i）²-p（2-i）+q=0，
化簡(jiǎn)，得（3-2p+q）+（p-4）i=0，
∴3-2p+q=0，解得p=4，q=5．
∴方程為x²-4x+5=0，即（x-2）²=-1=i²，
解得另一個(gè)復(fù)數(shù)根為2+i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)及在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查方程中系數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)的另一個(gè)復(fù)數(shù)根的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意復(fù)數(shù)性質(zhì)及運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．