Question

4．已知平面四邊形ABCD為凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側），且AB=2，BC=4，CD=5，DA=3，則平面四邊形ABCD面積的最大值為2$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 在△ABC和△ACD中使用余弦定理求出cosB，cosD的關系，得出四邊形的面積S關于sinB，sinD的函數表達式，利用余弦函數的性質求出S的最大值．

解答 解：設AC=x，在△ABC中，由余弦定理得：x²=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
同理，在△ADC中，由余弦定理得：x²=3²+5²-2×3×5cosD=34-30cosD，
∴15cosD-8cosB=7，①
又平面四邊形ABCD面積為$S=\frac{1}{2}×2×4sinB+\frac{1}{2}×3×5sinD=\frac{1}{2}（8sinB+15sinD）$，
∴8sinB+15sinD=2S，②
①²+②²得：64+225+240（sinBsinD-cosBcosD）=49+4S²，
∴S²=60-60cos（B+D），
當B+D=π時，S取最大值$\sqrt{60+60}$=$2\sqrt{30}$．
故答案為：2$\sqrt{30}$．

點評 本題考查了余弦定理，三角形的面積公式，余弦函數的最值，屬于中檔題．