Question

14．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足：|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=6，$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow{a}$）=2
（1）求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角
（2）求|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|

Answer 1

分析 （1）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=6cosθ$，展開$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow{a}$）=2，代入$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=6cosθ$后求得θ值；
（2）利用$|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}$，展開后求得答案．

解答 解：（1）設(shè)向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cosθ=6cosθ$，
∴$\overrightarrow a$•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow{a}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow-|\overrightarrow{a}{|}^{2}=6cosθ-1=2$，
得cos$θ=\frac{1}{2}$，
∵θ∈[0，π]，∴$θ=\frac{π}{3}$；
（2）|2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}}=\sqrt{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}}$
=$\sqrt{2-12+36}=2\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量模的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．