Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+t，t∈R．
（Ⅰ）如果函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，求實數(shù)t的值．
（Ⅱ）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．
（Ⅱ）根函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$+t=0，
∴t=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）在R上的單調(diào)遞增．
理由：任�。簒₁＜x₂∈R，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}+1}}+t-（{\frac{{{2^{x_2}}}}{{{2^{{x_2}+1}}}}+t}）=\frac{{{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{{2^{x_2}}}}{{{2^{x_2}}+1}}$
=$\frac{{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
又${2}^{{x}_{1}}+1$＞0，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上的單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．