Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足${S}_{n}={n}^{2}{a}_{n}-{n}^{2}（n-1）$，且${a}_{1}=\frac{1}{2}$．
（1）令$_{n}=\frac{n+1}{n}{S}_{n}$，證明：b_n-b_n-1=n（n≥2）；
（2）求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）將a_n=S_n-S_n-1，代入已知等式，化簡可證；
（2）利用（1）的結(jié)論，用累加法求通項公式．

解答 （1）證明：${S}_{n}={n}^{2}（{S}_{n}-{S}_{n-1}）-{n}^{2}（n-1）$，
所以$\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}=\frac{n+1}{n}{S}_{n}-n$，
所以b_n-b_n-1=n（n≥2）．
（2）解：由（1）得到b₁=1，b_n-b_n-1=n，b_n-1-b_n-2=n-1，…，b₂-b₁=2，
累加得$_{n}=\frac{{n}^{2}+n}{2}$，
∴${S}_{n}=\frac{{n}^{2}}{2}，{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2n-1}{2}（n≥2）$，
經(jīng)檢驗${a}_{1}=\frac{1}{2}$，符合${a}_{n}=\frac{2n-1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2n-1}{2}$．

點評 本題考查了數(shù)列前n項和與a_n的關(guān)系式運用以及利用累加法求數(shù)列的通項公式；屬于中檔題．