Question

7．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中第6項為常數項．
（1）求展開式中所有項的二項式系數和；
（2）求展開式中所有項的系數和；
（3）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析 由已知得到n值然后由展開式的通項分別解答即可．

解答 解：因為在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中第6項為常數項，所以${C}_{n}^{5}（\root{3}{x}）^{n-5}（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{5}$=$-\frac{1}{{2}^{5}}{C}_{n}^{5}{x}^{\frac{n-10}{3}}$為常數項，所以n=10，
所以（1）展開式中所有項的二項式系數和為2¹⁰；
（2）令x=1，得到展開式中所有項的系數和為$\frac{1}{{2}^{10}}$；
（3）展開式中通項為$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{10}^{r}x\frac{10-2r}{3}$，令$\frac{10-2r}{3}$為整數，0≤r≤10，得到r=2，5，8，所以展開式中所有的有理項有$\frac{45}{4}{x}^{2}$，$-\frac{63}{8}$，$\frac{45}{256}{x}^{-2}$．

點評 本題考查了二項式定理的運用；關鍵是利用展開式的通項正確確定n值；屬于基礎題．