Question

7．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（1）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（2）求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；
（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 由已知得到n值然后由展開(kāi)式的通項(xiàng)分別解答即可．

解答 解：因?yàn)樵冢?\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開(kāi)式中第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以${C}_{n}^{5}（\root{3}{x}）^{n-5}（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{5}$=$-\frac{1}{{2}^{5}}{C}_{n}^{5}{x}^{\frac{n-10}{3}}$為常數(shù)項(xiàng)，所以n=10，
所以（1）展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2¹⁰；
（2）令x=1，得到展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為$\frac{1}{{2}^{10}}$；
（3）展開(kāi)式中通項(xiàng)為$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{10}^{r}x\frac{10-2r}{3}$，令$\frac{10-2r}{3}$為整數(shù)，0≤r≤10，得到r=2，5，8，所以展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)有$\frac{45}{4}{x}^{2}$，$-\frac{63}{8}$，$\frac{45}{256}{x}^{-2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是利用展開(kāi)式的通項(xiàng)正確確定n值；屬于基礎(chǔ)題．