Question

10．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$的最小值為8．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$的最小值．

解答 解：由z=ax+2by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率-$\frac{a}{2b}$＜0，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-$\frac{a}{2b}$x+$\frac{z}{2b}$的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值為1，
即a+2b=1，∴1=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，則ab≤$\frac{1}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，
則$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{4^{2}}}$=$\frac{1}{ab}$≥8，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$的最小值為8
故答案為：8

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．