Question

4．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=m+t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為3ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=12，且曲線C的下焦點(diǎn)F在直線l上．
（1）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的值；
（2）求曲線C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)F的直角坐標(biāo)為（0，-2$\sqrt{2}$），求出曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x²+y²=12，求出F的坐標(biāo)，從而求出m的值，將直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，得t′²-2t′-2=0，由此能求出|FA|•|FB|．
（2）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為（2cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），由對(duì)稱(chēng)性可得橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為8cosθ+8$\sqrt{3}$sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{6}$），由此能求出橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為3ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=12，
∴直角坐標(biāo)方程為3x²+y²=12，即$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴F（0，-2$\sqrt{2}$），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{0=t}\\{-2\sqrt{2}=m+t}\end{array}\right.$，解得m=-2$\sqrt{2}$，
∵將直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\\{y=-2\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t′}\end{array}\right.$（t′為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，
得t′²-2t′-2=0，∴t′_A•t′_B=-2
∴|FA|•|FB|=2．
（2）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為（2cosθ，2$\sqrt{3}$sinθ），
由對(duì)稱(chēng)性可得橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為8cosθ+8$\sqrt{3}$sinθ=16sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴當(dāng)θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，橢圓C的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取得最大值16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段乘積的求法，考查橢圓的內(nèi)接知識(shí)的周長(zhǎng)的最大值的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．