Question

19．已知點A（1，0），B（0，-1），P是曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$上的一個動點，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值是1$+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)P（cosα，sinα），α∈[0，π]，則 $\overrightarrow{BA}$=（1，1），$\overrightarrow{BP}$=（cosα，sinα+1），$\overrightarrow{AP}$=（cosα-1，sinα），由此能求出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的取值范圍．

解答 解：∵在平面直角坐標系中，A（1，0），B（0，-1），
P是曲線y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$上一個動點，
∴設(shè)P（cosα，sinα），α∈[0，π]，
∴$\overrightarrow{BA}$=（1，1），$\overrightarrow{BP}$=（cosα，sinα+1），$\overrightarrow{AP}$=（cosα-1，sinα），
$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AP}$=-cosα+sinα+1=1+$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$），
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的最大值是：1+$\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的合理運用．