Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx與函數(shù)g（x）=x+

1

ax

（x＞0）均在x=x₀時(shí)取得最小值，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）證明：

1

e

是函數(shù)h（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
（Ⅲ）證明：函數(shù)h（x）的所有極值點(diǎn)之和的范圍是（

3

e

，

e+1

e

）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先用導(dǎo)數(shù)由f（x）求出x₀，再分情況討論g（x）的最小值及此時(shí)x值，由x₀=x即可求出a值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系可以證明，為判斷h′（x）的符號(hào)，此題要對(duì)h′（x）再次求導(dǎo)；
（Ⅲ），先找出所有極值點(diǎn)，再求證即可．

解答： 解：（I）f′（x）=（xlnx）′=lnx+1，令f′（x）=0得x=

1

e

，列表：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	1	極小值- 1 e	Z

∴當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）=xlnx取得最小值，∴x 0=

1

e

，
當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）是增函數(shù)，此時(shí)無(wú)最小值時(shí)，
當(dāng)a＞0，函數(shù)g（x）=x+

1

ax

≥2

1 a

是最小值，取等號(hào)時(shí)，x₀=

1 a

，
由

1 a

=

1

e

，得a=e²．
（II）∵h(yuǎn)（x）=f（x）-g（x）=xlnx-x-

1

e2x

，h′（x）=lnx+

1

e2x2

，
∴h″（x）=

e2x-2

e2x3

，h″（x）＜0?0＜x＜

2

e

∴所以h′（x）在（0，

2

e

）遞減，在（

2

e

，+∞）遞增，
∵h(yuǎn)′（

1

e

）=，∴x∈（0，

1

e

）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
x∈（

1

e

，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞減，
∴

1

e

是函數(shù)h（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)
（III）∵h(yuǎn)′（x）=ln

2

e

+

1

2

=

1

2

（ln2-1）＜0，h′（1）=

1

e2

＞0，
∵h(yuǎn)′（x）（

2

e

，+∞）遞增，
∴在（

2

e

，1）存在唯一實(shí)數(shù)m，使得 h′（m）=0，
∵h(yuǎn)′（x）在（

2

e

，+∞）遞增，
∴x∈（

2

e

，m）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞減，
x∈（m，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
∴函數(shù)h（x）在（

2

e

，+∞）有唯一極小值點(diǎn)m，
∵h′(

2

e

)ln2-

3

4

＜0，
∴m∈（

2

e

，1），
由（II）知，h（x）在（0，

2

e

）有唯一極值點(diǎn)

1

e

，
∴函數(shù)h（x）的所有極值點(diǎn)之和

1

e

+m∈（

3

e

，

e+1

e

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、極值，研究函數(shù)的單調(diào)性，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，難度較大．