Question

已知數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，點(diǎn)（b_n，b_n+1）在直線y=4x-3上． 
 （1）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
 （2）記c_n=log₂（b_n-1），求數(shù)列{a_n•c_n}的前n項(xiàng)的和T_n；
 （3）令d_n=

1

cncn+1

，證明：

1

3

≤d₁+d₂+…+d_n＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a₁=S₁=

1

2

，S_n=1-a_n，S_n-1=1-a_n-1，從而a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，進(jìn)而得到{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，由此求出a_n=（

1

2

）^n-1；由題意得b_n+1=4b_n-3，從而得到{b_n-1}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，由此求出b_n=2^2n-1+1．
（2）由c_n=log₂（b_n-1）=log222n-1=2n-1，得a_n•c_n=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{a_n•c_n}的前n項(xiàng)的和T_n．
（3）d_n=

1

cncn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明

1

3

≤d₁+d₂+…+d_n＜

1

2

．

解答： （1）解：∵數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=1（n∈N^*），
∴a₁=S₁=

1

2

，
S_n=1-a_n，①，S_n-1=1-a_n-1，②
①-②，得：
a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，
∴an=

1

2

an-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=（

1

2

）^n-1．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，點(diǎn)（b_n，b_n+1）在直線y=4x-3上，
∴b_n+1=4b_n-3，∴b_n+1-1=4（b_n-1），
又b₁-1=2，∴{b_n-1}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
∴b_n-1=2•4^n-1=2^2n-1．
∴b_n=2^2n-1+1．
（2）解：c_n=log₂（b_n-1）=log222n-1=2n-1，
∴a_n•c_n=（2n-1）•（

1

2

）^n-1，
∴T_n=1•(

1

2

)0+3•(

1

2

)+5•(

1

2

)2+…+（2n-1）•(

1

2

)n-1，①

1

2

Tn=1•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+5•(

1

2

)3+…+（2n-1）•(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+2[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-（2n-1）•(

1

2

)n
=1+2×

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（2n-1）•(

1

2

)n
=1+2-（

1

2

）^n-1-（2n-1）•(

1

2

)n，
∴T_n=6-（4n+3）•（

1

2

）ⁿ．
（3）證明：d_n=

1

cncn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴d₁+d₂+…+d_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

，
∵

1

2

(1-

1

2n+1

)是增數(shù)列，∴

1

2

(1-

1

2n+1

)_min=

1

2

(1-

1

2×1+1

)=

1

3

，
∴

1

3

≤d₁+d₂+…+d_n＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．