Question

17．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共的焦點(diǎn)，C₂的一條漸近線與以C₁的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C₁恰好將線段AB三等分，則橢圓C₁的短軸長(zhǎng)為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得焦點(diǎn)$（±\sqrt{5}，0）$，漸近線方程為y=±2．可得：a²-b²=5．設(shè)漸近線y=2x與橢圓C₁相交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．漸近線與橢圓方程聯(lián)立可得：${x}_{1}^{2}$，${y}_{1}^{2}$．|MN|²=4（${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$）．|AB|²=（2a）²=4（b²+5），利用|AB|=3|MN|，即可得出．

解答 解：由雙曲線C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得焦點(diǎn)$（±\sqrt{5}，0）$，漸近線方程為y=±2．
∴a²-b²=5．
設(shè)漸近線y=2x與橢圓C₁相交于點(diǎn)M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{^{2}+5}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，可得${x}_{1}^{2}$=$\frac{^{4}+5^{2}}{5^{2}+20}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{4^{4}+20^{2}}{5^{2}+20}$．
∴|MN|²=4（${x}_{1}^{2}$+${y}_{1}^{2}$）=4（$\frac{^{4}+5^{2}}{5^{2}+20}$+$\frac{4^{4}+20^{2}}{5^{2}+20}$）=$\frac{4^{4}+20^{2}}{^{2}+4}$．
|AB|²=（2a）²=4a²=4（b²+5），
∴4（b²+5）=9×$\frac{4^{4}+20^{2}}{^{2}+4}$．
化為：2b²=1．
∴$b=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2b=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、兩點(diǎn)之間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．