Question

13．點P（x，y）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的任意一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，且∠F₁PF₂≤120°，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，由此能求出該橢圓的離心率是．

解答 解：由題意可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，
此時 cos＜F1PF2=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-2{c}^{2}}{{a}^{2}}$=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{3}a$=2c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、余弦定理的合理運用．