Question

2．已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-2a_n=2ⁿ，
（1）證明：數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{（n+2）{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，{b_n}的前n項和為S_n，求證：S_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由等式兩邊同除以2ⁿ⁺¹，運用等差數列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）化簡b_n=$\frac{（n+1）•{2}^{n}-n•{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，再由數列的求和方法：裂項相消求和，結合不等式的性質，即可得證．

解答 證明：（1）a_n+1-2a_n=2ⁿ，
兩邊同除以2ⁿ⁺¹，可得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
可得數列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首項為$\frac{1}{2}$，公差為$\frac{1}{2}$的等差數列；
即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
則a_n=n•2^n-1；
（2）b_n=$\frac{（n+2）{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）•{2}^{n}-n•{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
則S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=1-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n}}$＜1．

點評 本題考查等差數列的定義和通項公式的運用，考查構造法的運用，以及數列的求和方法：裂項相消求和，考查不等式的性質，屬于中檔題．