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18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1ab0的左右頂點(diǎn)分別為A,B,右焦點(diǎn)為F,離心率e=12,點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn),△APB的面積最大值為23
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線AP與直線x=2交于點(diǎn)D,試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并作出證明.

分析 (1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和a,b,c的關(guān)系,以及橢圓上點(diǎn)到x軸距離的最大值,計(jì)算即可得到a,b的值,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)以BD為直徑的圓與直線PF相切.設(shè)直線AP:y=k(x+2)(k≠0),代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,可得P的坐標(biāo),再由點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓相切的條件:d=r,即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)由題意得,e=ca=12,a2-b2=c2,
當(dāng)P為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),△APB的面積取得最大值
且為12•b•2a=23,
解得,a=2,b=3,c=1,
所以橢圓方程為:x24+y23=1;
(2)以BD為直徑的圓與直線PF相切.
證明:設(shè)直線AP:y=k(x+2)(k≠0),
可得D(2,4k),BD的中點(diǎn)為M為(2,2k)
聯(lián)立{y=kx+23x2+4y2=12,消去y整理得,
(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,
設(shè)P(x0,y0),由韋達(dá)定理得,2x0=16k2123+4k2,
解得,x0=68k23+4k2
故有,y0=kx0+2=12k3+4k2,
又F(1,0),所以當(dāng)k=±12時(shí),P1±32,D(2,±2),此時(shí)PF⊥x軸,
以BD為直徑的圓(x-2)2+(y±1)2=1與直線PF相切;
當(dāng)k±12時(shí),kPF=y0x01=4k14k2,
所以直線PF:y=4k14k2x1,即4k14k2xy4k14k2=0,
所以點(diǎn)E到直線PF的距離d=|8k1k22k4k14k2|4k14k22+1=2|k|,
而BD=4k,即知d=12|BD|,所以以BD為直徑的圓與直線PF相切.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和橢圓的性質(zhì),考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理,同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式和相切的條件,屬于中檔題.

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(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
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