Question

設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），命題q：實(shí)數(shù)x滿足

x-3

x-2

≤0，
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）由a=1得到命題p下的不等式，并解出該不等式，解出命題q下的不等式，根據(jù)p∧q為真，得到p真q真，從而求出x的取值范圍；
（2）先求出￢p，￢q，根據(jù)￢p是￢q的充分不必要條件，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=1，解x²-4x+3＜0得：1＜x＜3，解

x-3

x-2

≤0得：2＜x≤3；
∴命題p：實(shí)數(shù)x滿足1＜x＜3，命題q：實(shí)數(shù)x滿足2＜x≤3；
∵p∧q為真，∴p真，q真，∴x應(yīng)滿足

1＜x＜3 2＜x≤3

，解得2＜x＜3，即x的取值范圍為（2，3）；
（2）￢q為：實(shí)數(shù)x滿足x＜2，或x＞3；￢p為：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²≥0，并解x²-4ax+3a²≥0得x≤a，或x≥3a；
￢p是￢q的充分不必要條件，所以a應(yīng)滿足：a＜2，且3a＞3，解得1＜a＜2；
∴a的取值范圍為：（1，2）．

點(diǎn)評(píng)：考查解一元二次不等式，分式不等式，p∧q的真假情況，充分不必要條件的概念．