Question

18．已知拋物線M：x²=4y，圓C：x²+（y-3）²=4，在拋物線M上任取一點P，向圓C作兩條切線PA和PB，切點分別為A，B，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值為（　　）

• A． $-\frac{4}{9}$
• B． $-\frac{4}{3}$
• C． -1
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），∠ACP=θ，則$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=CA•CB•cos2θ=8cos²θ-4=$\frac{32}{P{C}^{2}}-4$．根據(jù)距離公式得出PC²關(guān)于x₀的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解出PC²的最小值，從而得出數(shù)量積的最大值．

解答 解：C（0，3），設(shè)P（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），∠ACP=θ，則CA=CB=2，cosθ=$\frac{CA}{PC}$=$\frac{2}{PC}$．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=CA•CB•cos2θ=4cos2θ=4（2cos²θ-1）=8cos²θ-4=$\frac{32}{P{C}^{2}}-4$．．
∵PC²=x₀²+（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$-3）²=$\frac{{{x}_{0}}^{4}}{16}$-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+9=$\frac{1}{16}$（x₀²-4）²+8≥8．
∴當(dāng)x₀²=4時，PC²取得最小值8，$\frac{32}{P{C}^{2}}-4$取得最大值$\frac{32}{8}-4=0$．
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$的最大值為0．
故選：D．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，解題時要認真審題，注意拋物線性質(zhì)，切線性質(zhì)的合理運用，是中檔題．