Question

10．甲、乙兩人擲均勻硬幣，其中甲擲m次，乙擲n次，擲出的正面次數(shù)依次記為x，y．
（Ⅰ）若m+n=10，記ξ=x+y，求P（ξ=k）的最大值：
（Ⅱ）若m=3，n=2，求x-y的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用二項分布即可求出概率，利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即得結(jié)論；
（2）通過分別求出X的可能取值為-2，-1，0，1，2，3相應(yīng)的概率，進而可求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）依題意，ξ～B（10，$\frac{1}{2}$），
則P（ξ=k）=${C}_{10}^{k}$$\frac{1}{{2}^{k}}$•$\frac{1}{{2}^{10-k}}$=${C}_{10}^{k}$$\frac{1}{{2}^{10}}$，
由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知P（ξ=k）的最大值為${C}_{10}^{5}$$\frac{1}{{2}^{10}}$=$\frac{63}{256}$；
（Ⅱ）由題可知，隨機變量X=x-y的可能取值為-2，-1，0，1，2，3，
則P（X=-2）=${C}_{3}^{0}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，
P（X=-1）=${C}_{3}^{0}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{1}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{{2}^{5}}$，
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{1}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{2}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{10}{{2}^{5}}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{2}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{3}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{2}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{10}{{2}^{5}}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$+${C}_{3}^{3}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{{2}^{5}}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$$\frac{1}{{2}^{3}}$•${C}_{2}^{0}$•$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{5}}$，
所以X的分布列為：

X	-2	-1	0	1	2	3
P	$\frac{1}{{2}^{5}}$	$\frac{5}{{2}^{5}}$	$\frac{10}{{2}^{5}}$	$\frac{10}{{2}^{5}}$	$\frac{5}{{2}^{5}}$	$\frac{1}{{2}^{5}}$

E（X）=（3-2）•$\frac{1}{{2}^{5}}$+（2-1）•$\frac{5}{{2}^{5}}$+（0+1）•$\frac{10}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查概率、隨機變量分布列以及數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．