Question

19．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π，ω＞0））為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．（I）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g²（x+$\frac{π}{6}$）+2mcosx+4=0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值．

Answer 1

分析 （I）通過兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)是偶函數(shù)求出φ，然后求解f（$\frac{π}{8}$）的值．
（Ⅱ）利用圖象的平移變換規(guī)律即可求得函數(shù)y=g（x）的解析式，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的取值范圍即可得解．

解答 解：（I）因為函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）是偶函數(shù)，
所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
因為0＜φ＜π，所以φ=$\frac{2π}{3}$．
又因為函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
所以T=π，所以ω=2；
所以f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
則f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得函數(shù)解析式為：y=2cosx，
再將圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數(shù)y=g（x）=2cos（x-$\frac{π}{6}$），
原方程可化為2cos²x+mcosx+2=0，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）有解，
參變分離可得m=-2（cosx+$\frac{1}{cosx}$），
令cosx=t，t∈（0，1），可得m=-2（t+$\frac{1}{t}$），
顯然當(dāng)t∈（0，1）時，t+$\frac{1}{t}$＞2，
∴m=-2（t+$\frac{1}{t}$）＜-4，
即m＜-4．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．