Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（I）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（ II）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（III）當(dāng)a=l時(shí)，對(duì)?m，n∈[-3，0]，|f（m）-f（n）|≤M恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²e^x，切點(diǎn)為（1，e），由f′（x）=（x²+2x）e^x，利用導(dǎo)數(shù)的向何意義能求出曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）（x-a+2）e^x，令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2，由此利用分類討論思想能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（Ⅲ）a=1時(shí)，f（x）在（-∞，-2）和（-1，+∞）內(nèi)遞增，f（x）在（-2，-1）內(nèi)遞減，推導(dǎo)出f（x）在[-3，0]上的最大值為f（0）=1，最小值為f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，由此能求出M的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²e^x，故f（1）=e，
∴切點(diǎn)為（1，e），
又f′（x）=（x²+2x）e^x，∴f′（1）=3e，
∴切線的斜率為k=3e，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為3ex-y-2e=0．
（Ⅱ）依題意有f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）（x-a+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2，
分以下三種情況討論：
①當(dāng)a＞$\frac{2}{3}$時(shí)，-2a＜a-2，f（x）在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）內(nèi)遞增，
f（x）在（-2a，a-2）內(nèi)遞減；
②當(dāng)a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，-2a＞a-2，f（x）在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）內(nèi)遞增，
f（x）在（a-2，-2a）內(nèi)遞減；
③當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，-2a=a-2，f（x）在R上遞增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a=1時(shí)，f（x）在（-∞，-2）和（-1，+∞）內(nèi)遞增，
f（x）在（-2，-1）內(nèi)遞減，
又f（0）=1，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（-2）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，
∴f（x）在[-3，0]上的最大值為f（0）=1，最小值為f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，
∴?m，n∈[-3，0]，|f（m）-f（n）|≤1-$\frac{7}{{e}^{3}}$恒成立，
∴M的最小值為1-$\frac{7}{{e}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的討論，考查實(shí)數(shù)的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、討論思想的合理運(yùn)用．