Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（I）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（ II）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（III）當a=l時，對?m，n∈[-3，0]，|f（m）-f（n）|≤M恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=0時，f（x）=x²e^x，切點為（1，e），由f′（x）=（x²+2x）e^x，利用導數(shù)的向何意義能求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）（x-a+2）e^x，令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2，由此利用分類討論思想能求出函數(shù)f（x）的單調性．
（Ⅲ）a=1時，f（x）在（-∞，-2）和（-1，+∞）內遞增，f（x）在（-2，-1）內遞減，推導出f（x）在[-3，0]上的最大值為f（0）=1，最小值為f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，由此能求出M的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=x²e^x，故f（1）=e，
∴切點為（1，e），
又f′（x）=（x²+2x）e^x，∴f′（1）=3e，
∴切線的斜率為k=3e，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為3ex-y-2e=0．
（Ⅱ）依題意有f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x=（x+2a）（x-a+2）e^x，
令f′（x）=0，解得x=-2a或x=a-2，
分以下三種情況討論：
①當a＞$\frac{2}{3}$時，-2a＜a-2，f（x）在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）內遞增，
f（x）在（-2a，a-2）內遞減；
②當a＜$\frac{2}{3}$時，-2a＞a-2，f（x）在（-∞，a-2）和（-2a，+∞）內遞增，
f（x）在（a-2，-2a）內遞減；
③當a=$\frac{2}{3}$時，-2a=a-2，f（x）在R上遞增．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a=1時，f（x）在（-∞，-2）和（-1，+∞）內遞增，
f（x）在（-2，-1）內遞減，
又f（0）=1，f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（-2）=$\frac{3}{{e}^{2}}$，f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，
∴f（x）在[-3，0]上的最大值為f（0）=1，最小值為f（-3）=$\frac{7}{{e}^{3}}$，
∴?m，n∈[-3，0]，|f（m）-f（n）|≤1-$\frac{7}{{e}^{3}}$恒成立，
∴M的最小值為1-$\frac{7}{{e}^{3}}$．

點評 本題考查切線方程的求法，考查函數(shù)的單調性的討論，考查實數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意導數(shù)的幾何意義、導數(shù)性質、討論思想的合理運用．