Question

6．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)且a≠0），f（0）=f（2），且方程f（x）=x有相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在[${\frac{1}{2}$，3]的最大值和最小值，并求出取得最大與最小值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）由f（2）=0，且f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，求出a、b的值，從而得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）∵f（2）=f（0）=0，∴4a+2b=0①；
又方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根，
即ax²+（b-1）x=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴（b-1）²=0②；
由①②可得，a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+x；
（2）∵f（x）=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，x∈[$\frac{1}{2}$，3]，
x=1時，f（x）的最大值是f（1）=$\frac{1}{2}$，
∵f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]遞增，在[1，3]遞減，
∴x=3時，f（x）的最小值是f（3）=-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查求函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道基礎(chǔ)題．