Question

16．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的左、右焦點，B₁，B₂橢圓短軸的端點，四邊形F₁B₁，F(xiàn)₂B₂為正方形且面積等于50．
（I）求橢圓方程；
（Ⅱ）過焦點F_l且傾斜角為30°的直線l交橢圓于M，N兩點，求△F₂MN內切圓的半徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四邊形F₁B₁F₂B₂為正方形且面積等于50，推導出b=c=5，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）直線l的方程為x=$\sqrt{3}y-5$，代入$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-5=0$，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、橢圓定義，結合已知條件能求出△F₂MN內切圓的半徑．

解答 解：（Ⅰ）由四邊形F₁B₁F₂B₂為正方形且面積等于50，
得$\left\{\begin{array}{l}{b=c}\\{\frac{1}{2}×2b×2c=50}\end{array}\right.$，
解得b=c=5．
∴a²=b²+c²=50，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．
（Ⅱ）過焦點F_l（-5，0），傾斜角為30°的直線l的方程為x=$\sqrt{3}y-5$，
代入$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}$=1，得${y}^{2}-2\sqrt{3}y-5=0$，
$△=（-2\sqrt{3}）^{2}-4×1×（-5）=32＞0$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁+y₂=2$\sqrt{3}$，y₁y₂=-5，
$（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}=（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}=32$，
|y₁-y₂|=4$\sqrt{2}$，
${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•|{y}_{1}-{y}_{2}|$=20$\sqrt{2}$，
又${S}_{△{F}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}（MN+M{F}_{2}+N{F}_{2}）r=2ar=10\sqrt{2}r$，
∴r=2．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形內切圓的半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、橢圓定義的合理運用．