Question

7．在平面直角坐標系xoy中，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過焦點F作x軸的垂線交橢圓于A點，且|AF|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若點A關于點O的對稱點為B，直線BF交橢圓于點C，求∠BAC的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）設F（c，0），A（c，y₀），將A點坐標代入橢圓方程得${y_0}=±\frac{b^2}{a}$，從而求出$a=\sqrt{2}$，b=c=1，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設A點在第一象限，得$A（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$B（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，從而直線BF方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）$，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得5x²-2x-7=0，由此結合已知條件能求出角的大�。�

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的對稱性，不妨設F（c，0），A（c，y₀），
將A點坐標代入橢圓方程：$\frac{c^2}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$，得${y_0}=±\frac{b^2}{a}$，
∴$|{AF}|=\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，而$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$a=\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由橢圓的對稱性，不妨設A點在第一象限，可得$A（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，∴$B（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．
則直線BF方程為$y=\frac{{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{-2}（{x-1}）$，即$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）$，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y，可得5x²-2x-7=0，
設C（x₁，y₁），則${x_1}=\frac{7}{5}$，代入橢圓方程，得${y_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
∴$C（{\frac{7}{5}，\frac{{\sqrt{2}}}{10}}）$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=（{-2，-\sqrt{2}}）•（{\frac{2}{5}，-\frac{2}{5}\sqrt{2}}）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴∠BAC=90°．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓的對稱性、韋達定理、向量知識的合理運用．