Question

18．如圖，等腰Rt△AOB，OA=OB=2，點(diǎn)C是OB的中點(diǎn)，△AOB繞BO所在的邊逆時針旋轉(zhuǎn)一周．
（1）求△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；
（2）設(shè)OA逆時針旋轉(zhuǎn)至OD，旋轉(zhuǎn)角為θ，且滿足AC⊥BD，求θ．

Answer 1

分析 （1）利用體積、表面積公式，即可求△ABC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S；
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用AC⊥BD，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-4cosθ-2=0$，即可求θ．

解答 解：（1）$V=\frac{1}{3}×π×{2^2}（{2-1}）=\frac{4}{3}π$；（3分）
S=$\frac{1}{2}×2π×2（2\sqrt{2}+\sqrt{5}）$=2π（2$\sqrt{2}+\sqrt{5}$）（3分）
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，得A（2，0，0），C（0，0，1），B（0，0，2）
由三角比定義，得D（2cosθ，2sinθ，0），（1分）
則，$\overrightarrow{AC}=（{-2，0，1}）$，$\overrightarrow{BD}=（{2cosθ，2sinθ，-2}）$，（2分）
$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=-4cosθ-2=0$，得$cosθ=-\frac{1}{2}$，θ∈[0，2π），（2分）
所以，$θ=\frac{2π}{3}或\frac{4π}{3}$．﹒﹒（1分）

點(diǎn)評 本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積V和表面積S，考查向量方法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．