【題目】設(shè)函數(shù) .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其圖象上任意一點(diǎn)P(x0 , y0)處切線的斜率 恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a=2,試求f(x)在區(qū)間 上的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
∵f′(x)= ﹣ax+b,
f′(1)=1﹣a+b=0,
∴b=a+1
(2)解:F(x)=lnx+ ,
∴F′(x)= ﹣ =
∴k=F′(x)= ≤ 在(0,3]上恒成立,
∴a≥(﹣ x02+x0)max,x0∈(0,3],
當(dāng)x0=1時(shí),﹣ x02+x0的取得最大值 ,
∴a≥
(3)解:當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx﹣x2+x,
∴f′(x)= ﹣2x+1= ,
令f′(x)=0,解得x=1或x=﹣ (舍去),
當(dāng)0<x<1時(shí),f′(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)c+ ≤1,即0<c≤ 時(shí),f(x)區(qū)間 上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(c+ )=ln(c+ )﹣(c+ )2+c+ =ln(c+ )+ ﹣c2,
當(dāng) .即 <c<1時(shí),f(x)在[c,1]上單調(diào)遞增,在[1,c+ ]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(1)=0,
當(dāng)c≥1時(shí),f(x)在[c,c+ ]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(c)=lnc﹣c2+c,
綜上所述,當(dāng)0<c≤ 時(shí),f(x)max=ln(c+ )+ ﹣c2,
當(dāng) <c<1時(shí),f(x)max=0,
當(dāng)c≥1時(shí),f(x)max=lnc﹣c2+c
【解析】(1)先求導(dǎo),再代值計(jì)算即可得到b=a+1;(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的斜率,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍;(3)求導(dǎo),分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大值得關(guān)系即可求出.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在區(qū)間 上的圖象,為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象,只要將y=sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)( )
A.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
B.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
C.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變
D.向左平移 個(gè)單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識,對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機(jī)構(gòu)對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù):
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,點(diǎn)N在線段PB上,且PN=2.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某山區(qū)養(yǎng)殖場散養(yǎng)的3500頭豬中隨機(jī)抽取5頭,測量豬的體長x(cm)和體重y(kg),得如下測量數(shù)據(jù):
豬編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 181 | 166 | 185 | 180 |
y | 95 | 100 | 97 | 103 | 101 |
(1)當(dāng)且僅當(dāng)x,y滿足:x≥180且y≥100時(shí),該豬為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)山區(qū)養(yǎng)殖場散養(yǎng)的3500頭豬中優(yōu)等品的數(shù)量;
(2)從抽取的上述5頭豬中,隨機(jī)抽取2頭中優(yōu)等品數(shù)x的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|,x∈R.
(1)若函數(shù)f(x)=|2x﹣1|+|2x﹣3|的最小值,并求取的最小值時(shí)x的取值范圍;
(2)若g(x)= 的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:函數(shù),當(dāng)x∈(-3,2)時(shí),>0,當(dāng)x∈(-,-3)(2,+)時(shí),<0
(I)求a,b的值;
(II)若不等式的解集為R,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知整數(shù)n≥4,集合M={1,2,3,…,n}的所有含有4個(gè)元素的子集記為A1 , A2 , A3 , …, .
設(shè)A1 , A2 , A3 , …, 中所有元素之和為Sn .
(1)求S4 , S5 , S6并求出Sn;
(2)證明:S4+S5+…+Sn=10Cn+26 .
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