Question

【題目】（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4．

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數(shù)使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，利用橢圓的離心率和長軸長列出方程，解出a和c的值，再利用計算b的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，將直線與橢圓聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到、，由于以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，所以，即，代入和，解出k的值．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，則由題設(shè)，得，

解得，所以，

故所求橢圓C的方程為．

（2）存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．

理由如下：

設(shè)點，，

將直線的方程代入，

并整理，得．（*）

則，．

因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O，

所以，即．

又，

于是，解得，

經(jīng)檢驗知：此時（*）式的Δ＞0，符合題意．

所以當(dāng)時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點O．