數(shù)列的前n項(xiàng)和為,存在常數(shù)A,B,C,使得對(duì)任意正整數(shù)n都成立.
⑴若數(shù)列為等差數(shù)列,求證:3A B+C=0;
⑵若設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求;
⑶若C=0,是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前2014項(xiàng)和為P,求不超過P的最大整數(shù)的值.
(1)詳見解析,(2),(3)2014.
解析試題分析:(1)研究特殊數(shù)列問題,一般從其特征量出發(fā). 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/3d/4/1idol2.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由,得,根據(jù)恒等式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得:所以代入得:. (2)本題實(shí)質(zhì)為求通項(xiàng). 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/5f/1/1vgxd3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,當(dāng)時(shí),, 所以即即,而,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.由錯(cuò)位相減法得,(3)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/3d/4/1idol2.png" style="vertical-align:middle;" />是首項(xiàng)為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以.化簡數(shù)列通項(xiàng),再由裂項(xiàng)相消法得,所以不超過的最大整數(shù)為2014.
解 ⑴因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/3d/4/1idol2.png" style="vertical-align:middle;" />為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由,
得, 2分
對(duì)任意正整數(shù)所以 4分
所以 . 6分
⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/5f/1/1vgxd3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
當(dāng)時(shí),,
所以即即,而,
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以. 9分
于是.所以①,,②
得.
所以. 12分
⑶ 因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/3d/4/1idol2.png" style="vertical-align:middle;" />是首項(xiàng)為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以.
而
, 14分
所以不超過的最大整數(shù)為2014. 16分
考點(diǎn):求數(shù)列通項(xiàng),錯(cuò)位相減法及裂項(xiàng)相消法求和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列滿足().
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(2)證明:數(shù)列不可能是等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),。
(1)若數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,求;
(2)若,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知{an}是公比為q的等比數(shù)列,且am、am+2、am+1成等差數(shù)列.
(1)求q的值;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,試判斷Sm、Sm+2、Sm+1是否成等差數(shù)列?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列,滿足,,,.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,對(duì)于任意給定的正整數(shù),是否存在正整數(shù),(),使得,,成等差數(shù)列?若存在,試用表示,;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在等差數(shù)列中,,公差為,其前項(xiàng)和為,在等比數(shù)列 中,,公比為,且,.
(1)求與;
(2)設(shè)數(shù)列滿足,求的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,已知,且對(duì)一切都成立.
(1)若λ=1,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求λ的值,使數(shù)列是等差數(shù)列.
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