Question

已知在區(qū)間上是增函數(shù)，實(shí)數(shù)a組成幾何A，設(shè)關(guān)于x的方程的兩個(gè)非零實(shí)根，實(shí)數(shù)m使得不等式使得對(duì)任意及恒成立，則m的解集是（    ）

A．	B．
C．	D．

Answer 1

A

試題分析：∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f'（x）≥0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立．①
設(shè)φ（x）=x²-ax-2，
方法一：①?φ(1)=1-a-2≤0且φ(-1)=1+a-2≤0?-1≤a≤1，
∵對(duì)x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f'（-1）=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
方法二：
①?，φ(-1)=1+a-2≤0或，φ(1)=1-a-2≤0?0≤a≤1或-1≤a≤0
?-1≤a≤1．
∵對(duì)x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f'（-1）=0以及當(dāng)a=-1時(shí)，f'（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
由=，得x²-ax-2=0，∵△=a²+8＞0，∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實(shí)根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，從而|x₁-x₂|===∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈[-1，1]恒成立．②
設(shè)g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②?g（-1）=m²-m-2≥0，g（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
當(dāng)m=0時(shí)，②顯然不成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，
②?m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實(shí)數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫(xiě)出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立，讓兩端點(diǎn)大等于零，以及函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式解之