Question

19．已知橢圓C的長軸長為$2\sqrt{6}$，左焦點的坐標為（-2，0）；
（1）求C的標準方程；
（2）設與x軸不垂直的直線l過C的右焦點，并與C交于A、B兩點，且$|AB|=\sqrt{6}$，試求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則c=2，2a=2$\sqrt{6}$，a=$\sqrt{6}$，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線l的方程為：y=k（x-2），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式即可求得k的值，即可求得直線l的傾斜角．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則c=2，2a=2$\sqrt{6}$，a=$\sqrt{6}$，
b=$\sqrt{6-4}$=2，
∴C的標準方程$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由題意可知：橢圓的右焦點（2，0），設直線l的方程為：y=k（x-2），設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$；整理得：（3k²+1）x²-12k²x+12k²-6=0，
韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+1}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{12{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}）^{2}-4•\frac{12{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$，
由丨AB丨=$\sqrt{6}$，$\frac{2\sqrt{6}（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}$=$\sqrt{6}$，解得：k²=1，故k=±1，
經檢驗，k=±1，符合題意，因此直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．