Question

4．證明函數(shù)f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1的值恒為正值．

Answer 1

分析 分類(lèi)討論，將代數(shù)式變形，即可證明結(jié)論．

解答 證明：x≥1時(shí)，f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁵（x³-1）+x（x-1）+1=x⁵（x-1）（x²+x+1）+x（x-1）+1≥0+0+1＞1，
0≤x＜1時(shí)，f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=1-x+x²（1-x³）+x⁸=1-x+x²（1-x）（1+x+x²）+x⁸＞0，
x＜0時(shí)，f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁸+（-x）⁵+x²+（-x）+1＞0．
總之 f（x）＞0 恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．