Question

12．方程x²-mnx+m+n=0有整數(shù)根，且m．n為自然數(shù)，則m、n的有幾對(duì)，試求出來．

Answer 1

分析 設(shè)方程兩整數(shù)根為x₁，x₂，則x₁+x₂=mn≥0，x₁•x₂=m+n≥0，再根據(jù)（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，即可進(jìn)行求解．

解答 解：設(shè)方程的整數(shù)根為x₁，x₂，則x₁+x₂=mn≥0，x₁•x₂=m+n＞0，
∴x₁，x₂均為正數(shù)，且（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，
∴（x₁-1）（x₂-1），（m-1）（n-1）均非負(fù)，
∴（m-1）（n-1）=0或（m-1）（n-1）=1或（m-1）（n-1）=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)關(guān)系，難度適中．