Question

【題目】已知等差數(shù)列與等比數(shù)列是非常數(shù)的實(shí)數(shù)列，設(shè).

（1）請(qǐng)舉出一對(duì)數(shù)列與，使集合中有三個(gè)元素；

（2）問(wèn)集合中最多有多少個(gè)元素？并證明你的結(jié)論；

Answer 1

【答案】(1) .

(2)3個(gè)，證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：（1），則；（2）不妨設(shè)，由，令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程最多有多少個(gè)解，可以證明當(dāng)時(shí)，方程①最多有個(gè)解：時(shí)，方程①最多有個(gè)解，從而可得結(jié)果.

詳解：（1），則

（2）不妨設(shè)，由

令，原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程

①

最多有多少個(gè)解.

下面我們證明：當(dāng)時(shí)，方程①最多有個(gè)解：時(shí)，方程①最多有個(gè)解

當(dāng)時(shí)，考慮函數(shù)，則

如果，則為單調(diào)函數(shù)，故方程①最多只有一個(gè)解；

如果，且不妨設(shè)由得由唯一零點(diǎn)，于是當(dāng)時(shí)，

恒大于或恒小于，當(dāng)時(shí)，恒小于或恒大于

這樣在區(qū)間與上是單調(diào)函數(shù)，故方程①最多有個(gè)解

當(dāng)時(shí)，如果

如果為奇數(shù)，則方程①變?yōu)?/span>

顯然方程最多只有一個(gè)解，即最多只有一個(gè)奇數(shù)滿足方程①

如果為偶數(shù)，則方程①變?yōu)?/span>

，由的情形，上式最多有個(gè)解，即滿足①的偶數(shù)最多有個(gè)

這樣，最多有個(gè)正數(shù)滿足方程①

對(duì)于，同理可以證明，方程①最多有個(gè)解.

綜上所述，集合中的元素個(gè)數(shù)最多有個(gè).

再由（1）可知集合中的元素個(gè)數(shù)最多有個(gè).