【題目】(12分)設(shè)數(shù)列{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3﹣a2=12.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn.
【答案】(1);(2)
【解析】
試題(1)設(shè)出等比數(shù)列的公比,利用條件a1=2,a3﹣a2=12列方程組,求出公比的值,進(jìn)而得到數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列{an+bn}是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相加得來的,所以可以采用拆項分組的方法,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和問題來解決.
試題解析:解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a1=2,a3﹣a2=12,
得:2q2﹣2q﹣12=0,即q2﹣q﹣6=0.
解得q=3或q=﹣2,
∵q>0,
∴q=﹣2不合題意,舍去,故q=3.
∴an=2×3n﹣1;
(2)∵數(shù)列{bn}是首項b1=1,公差d=2的等差數(shù)列,
∴bn=2n﹣1,
∴Sn=(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)
=+
=3n﹣1+n2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
求函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線和曲線有三個公共點(diǎn),求以這三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】楊輝三角,是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的.我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,這是我國數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.如圖所示,在“楊輝三角”中,去除所有為1的項,依次構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列前135項的和為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正六棱錐的底面邊長為,高為.現(xiàn)從該棱錐的個頂點(diǎn)中隨機(jī)選取個點(diǎn)構(gòu)成三角形,設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
(1)求概率的值;
(2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
圍建一個面積為360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位:元)。
(Ⅰ)將y表示為x的函數(shù);
(Ⅱ)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著西部大開發(fā)的深入,西南地區(qū)的大學(xué)越來越受到廣大考生的青睞,下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分與省一本線對比表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
省一本線 | 505 | 500 | 525 | 500 | 530 |
錄取平均分533 | 534 | 566 | 547 | 580 | |
錄取平均分與省一本線分差y | 28 | 34 | 41 | 47 | 50 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知,y與t之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)據(jù)以往數(shù)據(jù)可知,該大學(xué)每年的錄取分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布,其中為當(dāng)年該大學(xué)的錄取平均分,假設(shè)2019年該省一本線為520分,李華2019年高考考了569分,他很喜歡這所大學(xué),想第一志愿填報,請利用概率與統(tǒng)計知識,給李華一個合理的建議.(第一志愿錄取可能性低于,則建議謹(jǐn)慎報考)
參考公式:,.
參考數(shù)據(jù):,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在直角坐標(biāo)系中,曲線C由以原點(diǎn)為圓心,半徑為2的半圓和中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的半橢圓構(gòu)成,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線與曲線C交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為曲線C上的動點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別分層,采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)在抽取到的女生中按(1)中的選課情況進(jìn)行分層抽樣,從中抽出9名女生,再從這9名女生中隨機(jī)抽取4人,設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
總計 |
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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