Question

6．已知函數f（x）=$\frac{4x+a}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[m，n]上為增函數，且f（m）•f（n）=-4，當f（n）-f（m）取得最小值時，a+m的值為-1．

Answer 1

分析 通過單調性可知f（m）＜0＜f（n），利用基本不等式可知，當且僅當f（n）=-f（m）=2時f（n）-f（m）=4，通過分別在f（n）=2、-f（m）=2中求出a的表達式，進而可得確定a=0，計算即得結論．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{4x+a}{{x}^{2}+1}$在區(qū)間[m，n]上為增函數，
∴f（m）＜f（n），
又∵f（m）•f（n）=-4，
∴f（m）＜0＜f（n），
由基本不等式可知，f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]
≥2$\sqrt{f（n）[-f（m）]}$
=2$\sqrt{-f（m）•f（n）}$
=4，當且僅當f（n）=-f（m）=2時取等號，
由f（n）=$\frac{4n+a}{1+{n}^{2}}$=2可知，a=2（n-1）²≥0，
由-f（m）=-$\frac{4m+a}{{m}^{2}+1}$=2可知，a=-2（m+1）²≤0，
從而a=0，m=-1，
于是a+m=0-1=-1，
故答案為：-1．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，涉及基本不等式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．