Question

16．已知遞增等差數(shù)列{a_n}中a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{2}{n（{a}_{n}+2）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），利用${a_2}^2={a_1}{a_4}$計(jì)算可知d=2，進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
由a₁=2和a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，得${a_2}^2={a_1}{a_4}$，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n（n∈N^*）；
（2）由（1）可知${b_n}=\frac{2}{{n（{{a_n}+2}）}}$=$\frac{2}{n（2n+2）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．